虽然像 $\sin x$ 和 $e^x$ 这样的初等函数满足基本的微分方程，但许多物理现象——如热分布或量子态——却由没有“闭式解”的方程所支配。本页引入泰勒级数作为基础桥梁，使我们能够将未知解表示为无穷幂级数。
通过假设解在某一点 解析的 是解析的，我们可以将求解微分方程的问题转化为确定一组数值系数的问题。
1. 解析性的基础
若函数 $f$ 在 $x = x_0$ 处具有泰勒级数展开，且收敛半径 $\rho > 0$，则称该函数在 $x = x_0$ 处 解析的 解析的。这一性质是寻求常微分方程级数解的前提条件。如果我们的微分方程的系数函数在 $x_0$ 处解析，则其解 $y(x)$ 也必然在该点解析。
2. 泰勒级数表示
级数 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 被称为函数 $f$ 在 $x = x_0$ 处的泰勒级数。其中，系数定义为：
$$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
这将函数的整体行为与其在单一点处的局部导数联系起来。
3. 收敛性与有效性
一个幂级数解仅在其 收敛半径范围内有意义。例如，指数函数 $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 对所有 $x$ 都收敛（$\rho = \infty$），但由微分方程导出的其他级数可能仅在以展开点 $x_0$ 为中心的特定距离内收敛。这个距离通常由方程的 奇点 （即方程系数失效的位置）决定。
考虑微分方程 $y' = y$ 及初始条件 $y(0)=1$。我们不通过猜测来求解，而是假设其具有幂级数形式：
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$$
对上式求导得 $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$。代入 $y'=y$：
$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
对齐指数后，得到 $(n+1)a_{n+1} = a_n$，从而推出 $\displaystyle a_n = \frac{a_0}{n!}$。由于 $y(0)=1$，故 $a_0=1$。结果即为 $e^x$ 的泰勒级数。